Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{1}^{2} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 1$ ein.

$u_{lower} = 1^{2} + 1$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = 1 + 1$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{lower} = 2$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 1$ ein.

$u_{upper} = 2^{2} + 1$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Schritt 2.5.2

Addiere $4$ und $1$ .

$u_{upper} = 5$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{2}^{5} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$2 \int_{2}^{5} \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u$ mit $1$ .

$\int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{5}$

Schritt 7

Berechne $\ln (| u |)$ bei $5$ und $2$ .

$\ln (| 5 |) - \ln (| 2 |)$

Schritt 8

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 5 |}{| 2 |})$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$\ln (\frac{5}{| 2 |})$

Schritt 9.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\ln (\frac{5}{2})$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (\frac{5}{2})$

Dezimalform:

$0.91629073 \dots$

Schritt 11