Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x \ln ({(x)}^{p})} d x$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{x \ln (x^{p})}$ als $\frac{1}{x (p \ln (x))}$ um.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x (p \ln (x))} d x$

Schritt 2

Da $\frac{1}{p}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{p}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{p} \int_{1}^{2} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

Schritt 3

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{lower} = \ln (1)$

Schritt 3.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{upper} = \ln (2)$

Schritt 3.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (2)$

Schritt 3.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{p} \int_{0}^{\ln (2)} \frac{1}{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{p} \ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{p}$ und $\ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}$ .

$\frac{\ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}}{p}$

Schritt 6

Berechne $\ln (| u |)$ bei $\ln (2)$ und $0$ .

$\frac{\ln (| \ln (2) |) - \ln (| 0 |)}{p}$

Schritt 7

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{| 0 |})}{p}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{0})}{p}$

Schritt 8.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{0})}{p}$

Schritt 9

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert