Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} \frac{6 x - 1}{3 x^{2} - x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 3 x^{2} - x$ . Dann ist $d u = (6 x - 1) d x$ , folglich $\frac{1}{6 x - 1} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 3 x^{2} - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - x]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$6 x - 1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 x^{2} - x$ ein.

$u_{lower} = 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$u_{lower} = 3 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$u_{lower} = 2$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 x^{2} - x$ ein.

$u_{upper} = 3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$u_{upper} = 12 - 1 \cdot 2$

Schritt 1.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$u_{upper} = 12 - 2$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $2$ von $12$ .

$u_{upper} = 10$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{2}^{10} \frac{1}{u} d u$

Schritt 2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{10}$

Schritt 3

Berechne $\ln (| u |)$ bei $10$ und $2$ .

$\ln (| 10 |) - \ln (| 2 |)$

Schritt 4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $10$ ist $10$ .

$\ln (\frac{10}{| 2 |})$

Schritt 5.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\ln (\frac{10}{2})$

Schritt 5.3

Dividiere $10$ durch $2$ .

$\ln (5)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (5)$

Dezimalform:

$1.60943791 \dots$

Schritt 7