Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} {(2 x - 1)}^{4} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x - 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x - 1$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x - 1$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 3 - 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$u_{upper} = 6 - 1$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$u_{upper} = 5$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{5} u^{4} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{4}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{u^{4}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^{4} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{5}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{5} u^{5}$ bei $5$ und $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{5} \cdot 5^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $5$ mit $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \cdot 3125 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $3125$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3125$ und $5$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $5$ aus $3125$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{5 \cdot 625}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{5 \cdot 625}{5 (1)} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{5 \cdot 625}{5 \cdot 1} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{625}{1} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Schritt 5.2.3.2.4

Dividiere $625$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (625 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5})$

Schritt 5.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} (625 - \frac{1}{5} \cdot 1)$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (625 - \frac{1}{5})$

Schritt 5.2.6

Um $625$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (625 \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Schritt 5.2.7

Kombiniere $625$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{625 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5})$

Schritt 5.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{625 \cdot 5 - 1}{5}$

Schritt 5.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.9.1

Mutltipliziere $625$ mit $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3125 - 1}{5}$

Schritt 5.2.9.2

Subtrahiere $1$ von $3125$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3124}{5}$

Schritt 5.2.10

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3124}{5}$ .

$\frac{3124}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{3124}{10}$

Schritt 5.2.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3124$ und $10$ .

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Schritt 5.2.12.1

Faktorisiere $2$ aus $3124$ heraus.

$\frac{2 (1562)}{10}$

Schritt 5.2.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1562}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.2.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1562}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.2.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1562}{5}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1562}{5}$

Dezimalform:

$312.4$

Darstellung als gemischte Zahl:

$312 \frac{2}{5}$

Schritt 7