Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} x^{2} {(x^{3} - 10)}^{3} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{3} - 10$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{3} - 10$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{3} - 10$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 10]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10]$

Schritt 1.1.4

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{3} - 10$ ein.

$u_{lower} = 1^{3} - 10$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = 1 - 10$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $10$ von $1$ .

$u_{lower} = - 9$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{3} - 10$ ein.

$u_{upper} = 3^{3} - 10$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$u_{upper} = 27 - 10$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $10$ von $27$ .

$u_{upper} = 17$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 9$

$u_{upper} = 17$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 9}^{17} u^{3} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 9}^{17} \frac{u^{3}}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int_{- 9}^{17} u^{3} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{4} u^{4}]_{- 9}^{17}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{4} u^{4}$ bei $17$ und $- 9$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{4} \cdot 17^{4}) - \frac{1}{4} {(- 9)}^{4})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $17$ mit $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} \cdot 83521 - \frac{1}{4} {(- 9)}^{4})$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $83521$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - \frac{1}{4} {(- 9)}^{4})$

Schritt 5.2.3

Potenziere $- 9$ mit $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - \frac{1}{4} \cdot 6561)$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $6561$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - 6561 (\frac{1}{4}))$

Schritt 5.2.5

Kombiniere $- 6561$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} + \frac{- 6561}{4})$

Schritt 5.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - \frac{6561}{4})$

Schritt 5.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{83521 - 6561}{4}$

Schritt 5.2.8

Subtrahiere $6561$ von $83521$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{76960}{4}$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $76960$ und $4$ .

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Schritt 5.2.9.1

Faktorisiere $4$ aus $76960$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 19240}{4}$

Schritt 5.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.9.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 19240}{4 (1)}$

Schritt 5.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 19240}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{19240}{1}$

Schritt 5.2.9.2.4

Dividiere $19240$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 19240$

Schritt 5.2.10

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $19240$ .

$\frac{19240}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{19240}{3}$

Dezimalform:

$6413.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$6413 \frac{1}{3}$

Schritt 7