Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} p \ln^{2} (x) d x$

Schritt 1

Da $p$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $p$ aus dem Integral.

$p \int_{1}^{3} \ln^{2} (x) d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln^{2} (x)$ und $d v = 1$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x)$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x)$

Schritt 3.2.2

Dividiere $\ln (x^{2})$ durch $1$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \ln (x^{2}) d x)$

Schritt 4

Schreibe $\ln (x^{2})$ als $2 \ln (x)$ um.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} 2 \ln (x) d x)$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - (2 \int_{1}^{3} \ln (x) d x))$

Schritt 6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 \int_{1}^{3} \ln (x) d x)$

Schritt 7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = 1$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} x \frac{1}{x} d x))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x}{x} d x))$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x}{x} d x))$

Schritt 8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} d x))$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - (x]_{1}^{3})))$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $\ln^{2} (x) x$ bei $3$ und $1$ .

$p ((\ln^{2} (3) \cdot 3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - (x]_{1}^{3})))$

Schritt 10.2

Berechne $\ln (x) x$ bei $3$ und $1$ .

$p ((\ln^{2} (3) \cdot 3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{3})))$

Schritt 10.3

Berechne $x$ bei $3$ und $1$ .

$p ((\ln^{2} (3) \cdot 3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

Schritt 10.4

Vereinfache.

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Schritt 10.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln^{2} (3)$ .

$p (3 \cdot \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

Schritt 10.4.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (3)$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \cdot \ln (3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

Schritt 10.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - ((3) - 1)))$

Schritt 10.4.5

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 1 \cdot 2))$

Schritt 10.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - 0^{2} - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

Schritt 11.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - 0 - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

Schritt 11.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) - 0 - 2))$

Schritt 11.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) + 0 - 2))$

Schritt 11.1.5

Addiere $3 \ln (3)$ und $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) - 2))$

Schritt 11.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3)) - 2 \cdot - 2)$

Schritt 11.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 6 \ln (3) - 2 \cdot - 2)$

Schritt 11.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 6 \ln (3) + 4)$

Schritt 11.2

Addiere $3 \ln^{2} (3)$ und $0$ .

$p (3 \ln^{2} (3) - 6 \ln (3) + 4)$

Schritt 11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (3 \ln^{2} (3)) + p (- 6 \ln (3)) + p \cdot 4$

Schritt 11.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $p$ .

$p \cdot 3 \ln^{2} (3) + p (- 6 \ln (3)) + 4 \cdot p$

Schritt 11.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $p$ .

$3 p \ln^{2} (3) + p (- 6 \ln (3)) + 4 p$