Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} 9 r^{3} \ln (r) d r$

Schritt 1

Da $9$ konstant bezüglich $r$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int_{1}^{3} r^{3} \ln (r) d r$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (r)$ und $d v = r^{3}$ .

$9 (\ln (r) (\frac{1}{4} r^{4})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $r^{4}$ .

$9 (\ln (r) \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Schritt 3.2

Kombiniere $\ln (r)$ und $\frac{r^{4}}{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4} \cdot \frac{1}{r} d r)$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{r^{4}}{4}$ mit $\frac{1}{r}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4 r} d r)$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $r^{4}$ und $r$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $r$ aus $r^{4}$ heraus.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{4 r} d r)$

Schritt 3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $r$ aus $4 r$ heraus.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

Schritt 3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{3}}{4} d r)$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $r$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} r^{3} d r))$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $r^{3}$ nach $r$ gleich $\frac{1}{4} r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} r^{4}]_{1}^{3})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $r^{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3})$

Schritt 6.1.2

Kombiniere $\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}$ und $\frac{1}{4}$ .

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

Schritt 6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Berechne $\frac{\ln (r) r^{4}}{4}$ bei $3$ und $1$ .

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

Schritt 6.2.2

Berechne $\frac{r^{4}}{4}$ bei $3$ und $1$ .

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$9 (\frac{\ln (3) \cdot 81}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Schritt 6.2.3.2

Bringe $81$ auf die linke Seite von $\ln (3)$ .

$9 (\frac{81 \cdot \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Schritt 6.2.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Schritt 6.2.3.4

Mutltipliziere $\ln (1)$ mit $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Schritt 6.2.3.5

Potenziere $3$ mit $4$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

Schritt 6.2.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1}{4}}{4})$

Schritt 6.2.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81 - 1}{4}}{4})$

Schritt 6.2.3.8

Subtrahiere $1$ von $81$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{80}{4}}{4})$

Schritt 6.2.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $80$ und $4$ .

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Schritt 6.2.3.9.1

Faktorisiere $4$ aus $80$ heraus.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4}}{4})$

Schritt 6.2.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.9.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 (1)}}{4})$

Schritt 6.2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1}}{4})$

Schritt 6.2.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{20}{1}}{4})$

Schritt 6.2.3.9.2.4

Dividiere $20$ durch $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{20}{4})$

Schritt 6.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $4$ .

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Schritt 6.2.3.10.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4})$

Schritt 6.2.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.10.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 (1)})$

Schritt 6.2.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1})$

Schritt 6.2.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{5}{1})$

Schritt 6.2.3.10.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 1 \cdot 5)$

Schritt 6.2.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 5)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - \ln (1)}{4})$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - 0}{4})$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) + 0}{4})$

Schritt 7.3

Addiere $81 \ln (3)$ und $0$ .

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3)}{4})$

Schritt 7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$9 \cdot - 5 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $9$ mit $- 5$ .

$- 45 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

Schritt 7.6

Multipliziere $9 \frac{81 \ln (3)}{4}$ .

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Schritt 7.6.1

Kombiniere $9$ und $\frac{81 \ln (3)}{4}$ .

$- 45 + \frac{9 (81 \ln (3))}{4}$

Schritt 7.6.2

Mutltipliziere $81$ mit $9$ .

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

Dezimalform:

$155.22208960 \dots$