Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} 8 - 2 x d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{3} 8 d x + \int_{1}^{3} - 2 x d x$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$8 x]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 2 x d x$

Schritt 3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$8 x]_{1}^{3} - 2 \int_{1}^{3} x d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 x]_{1}^{3} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$8 x]_{1}^{3} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $8 x$ bei $3$ und $1$ .

$(8 \cdot 3) - 8 \cdot 1 - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Schritt 5.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $3$ und $1$ .

$8 \cdot 3 - 8 \cdot 1 - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$24 - 8 \cdot 1 - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$24 - 8 - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.3

Subtrahiere $8$ von $24$ .

$16 - 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$16 - 2 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$16 - 2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$16 - 2 \frac{9 - 1}{2}$

Schritt 5.2.3.7

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$16 - 2 (\frac{8}{2})$

Schritt 5.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 5.2.3.8.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$16 - 2 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Schritt 5.2.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$16 - 2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Schritt 5.2.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 - 2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$16 - 2 (\frac{4}{1})$

Schritt 5.2.3.8.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$16 - 2 \cdot 4$

Schritt 5.2.3.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$16 - 8$

Schritt 5.2.3.10

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$8$

Schritt 6