Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} \frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{4} \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{4} \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 1.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{4} \cos (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{1}^{4} \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 1.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{4} \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , folglich $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 2.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 2.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.1.8

Vereinfache.

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Schritt 2.1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{\frac{1}{2}}$ ein.

$u_{lower} = 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{\frac{1}{2}}$ ein.

$u_{upper} = 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u_{upper} = {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = 2^{1}$

Schritt 2.5.4

Berechne den Exponenten.

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{2} 2 \cos (u) d u$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{1}^{2} \cos (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$2 (\sin (u)]_{1}^{2})$

Schritt 5

Berechne $\sin (u)$ bei $2$ und $1$ .

$2 (\sin (2) - \sin (1))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Berechne $\sin (2)$ .

$2 (0.90929742 - \sin (1))$

Schritt 6.1.2

Berechne $\sin (1)$ .

$2 (0.90929742 - 1 \cdot 0.84147098)$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.84147098$ .

$2 (0.90929742 - 0.84147098)$

Schritt 6.2

Subtrahiere $0.84147098$ von $0.90929742$ .

$2 \cdot 0.06782644$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $0.06782644$ .

$0.13565288$