Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} \frac{8 \ln^{3} (x)}{x} d x$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int_{1}^{4} \frac{\ln^{3} (x)}{x} d x$

Schritt 2

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{lower} = \ln (1)$

Schritt 2.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{upper} = \ln (4)$

Schritt 2.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (4)$

Schritt 2.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$8 \int_{0}^{\ln (4)} u^{3} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$8 (\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{\ln (4)})$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u^{4}$ .

$8 (\frac{u^{4}}{4}]_{0}^{\ln (4)})$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{u^{4}}{4}$ bei $\ln (4)$ und $0$ .

$8 ((\frac{\ln^{4} (4)}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{0}{4})$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Schritt 5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{0}{1})$

Schritt 5.2.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - 0)$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} + 0)$

Schritt 5.2.4

Addiere $\frac{\ln^{4} (4)}{4}$ und $0$ .

$8 \frac{\ln^{4} (4)}{4}$

Schritt 5.2.5

Kombiniere $8$ und $\frac{\ln^{4} (4)}{4}$ .

$\frac{8 \ln^{4} (4)}{4}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 5.2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $8 \ln^{4} (4)$ heraus.

$\frac{4 (2 \ln^{4} (4))}{4}$

Schritt 5.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (2 \ln^{4} (4))}{4 (1)}$

Schritt 5.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (2 \ln^{4} (4))}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \ln^{4} (4)}{1}$

Schritt 5.2.6.2.4

Dividiere $2 \ln^{4} (4)$ durch $1$ .

$2 \ln^{4} (4)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 \ln^{4} (4)$

Dezimalform:

$7.38672315 \dots$