Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} \frac{32}{x^{3}} d x$

Schritt 1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $32$ aus dem Integral.

$32 \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$32 \int_{1}^{4} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 \int_{1}^{4} x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$32 \int_{1}^{4} x^{- 3} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$32 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{4})$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$32 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{4})$

Schritt 4.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$32 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{4})$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Berechne $- \frac{1}{2 x^{2}}$ bei $4$ und $1$ .

$32 ((- \frac{1}{2 \cdot 4^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$32 (- \frac{1}{2 \cdot 16} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$32 (- \frac{1}{32} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 4.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$32 (- \frac{1}{32} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$32 (- \frac{1}{32} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.2.2.5

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$32 (- \frac{1}{32} + \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{16})$

Schritt 4.2.2.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $32$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$32 (- \frac{1}{32} + \frac{16}{2 \cdot 16})$

Schritt 4.2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$32 (- \frac{1}{32} + \frac{16}{32})$

Schritt 4.2.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$32 \frac{- 1 + 16}{32}$

Schritt 4.2.2.8

Addiere $- 1$ und $16$ .

$32 (\frac{15}{32})$

Schritt 4.2.2.9

Kombiniere $32$ und $\frac{15}{32}$ .

$\frac{32 \cdot 15}{32}$

Schritt 4.2.2.10

Mutltipliziere $32$ mit $15$ .

$\frac{480}{32}$

Schritt 4.2.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $480$ und $32$ .

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Schritt 4.2.2.11.1

Faktorisiere $32$ aus $480$ heraus.

$\frac{32 \cdot 15}{32}$

Schritt 4.2.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.11.2.1

Faktorisiere $32$ aus $32$ heraus.

$\frac{32 \cdot 15}{32 (1)}$

Schritt 4.2.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32 \cdot 15}{32 \cdot 1}$

Schritt 4.2.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{15}{1}$

Schritt 4.2.2.11.2.4

Dividiere $15$ durch $1$ .

$15$

Schritt 5