Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} {(3 x + 2)}^{2} d x$

Schritt 1

Sei $u = 3 x + 2$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 3 x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 x + 2$ ein.

$u_{lower} = 3 \cdot 1 + 2$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$u_{lower} = 3 + 2$

Schritt 1.3.2

Addiere $3$ und $2$ .

$u_{lower} = 5$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 x + 2$ ein.

$u_{upper} = 3 \cdot 4 + 2$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$u_{upper} = 12 + 2$

Schritt 1.5.2

Addiere $12$ und $2$ .

$u_{upper} = 14$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 14$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{5}^{14} u^{2} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{2}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int_{5}^{14} \frac{u^{2}}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int_{5}^{14} u^{2} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{5}^{14}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{3} u^{3}$ bei $14$ und $5$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 14^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 5^{3})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $14$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 2744 - \frac{1}{3} \cdot 5^{3})$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2744$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - \frac{1}{3} \cdot 5^{3})$

Schritt 5.2.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - \frac{1}{3} \cdot 125)$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $125$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - 125 (\frac{1}{3}))$

Schritt 5.2.5

Kombiniere $- 125$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} + \frac{- 125}{3})$

Schritt 5.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} (\frac{2744}{3} - \frac{125}{3})$

Schritt 5.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2744 - 125}{3}$

Schritt 5.2.8

Subtrahiere $125$ von $2744$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2619}{3}$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2619$ und $3$ .

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Schritt 5.2.9.1

Faktorisiere $3$ aus $2619$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 873}{3}$

Schritt 5.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 873}{3 (1)}$

Schritt 5.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 873}{3 \cdot 1}$

Schritt 5.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{873}{1}$

Schritt 5.2.9.2.4

Dividiere $873$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 873$

Schritt 5.2.10

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $873$ .

$\frac{873}{3}$

Schritt 5.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $873$ und $3$ .

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Schritt 5.2.11.1

Faktorisiere $3$ aus $873$ heraus.

$\frac{3 \cdot 291}{3}$

Schritt 5.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 291}{3 (1)}$

Schritt 5.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 291}{3 \cdot 1}$

Schritt 5.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{291}{1}$

Schritt 5.2.11.2.4

Dividiere $291$ durch $1$ .

$291$

Schritt 6