Analysis Beispiele

$\int_{2}^{3} 8 x (x^{2} - 5) d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} - 5$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} - 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 5]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 1.1.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2} - 5$ ein.

$u_{lower} = 2^{2} - 5$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{lower} = 4 - 5$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$u_{lower} = - 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2} - 5$ ein.

$u_{upper} = 3^{2} - 5$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$u_{upper} = 9 - 5$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $5$ von $9$ .

$u_{upper} = 4$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 4$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 1}^{4} 4 u d u$

Schritt 2

Da $4$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{- 1}^{4} u d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{4})$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$4 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{4})$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{u^{2}}{2}$ bei $4$ und $- 1$ .

$4 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$4 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 5.2.2.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$4 (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (8 - \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.4

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.5

Kombiniere $8$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.7.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$4 \frac{16 - 1}{2}$

Schritt 5.2.7.2

Subtrahiere $1$ von $16$ .

$4 (\frac{15}{2})$

Schritt 5.2.8

Kombiniere $4$ und $\frac{15}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 15}{2}$

Schritt 5.2.9

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$\frac{60}{2}$

Schritt 5.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $60$ und $2$ .

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Schritt 5.2.10.1

Faktorisiere $2$ aus $60$ heraus.

$\frac{2 \cdot 30}{2}$

Schritt 5.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 30}{2 (1)}$

Schritt 5.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{30}{1}$

Schritt 5.2.10.2.4

Dividiere $30$ durch $1$ .

$30$

Schritt 6