Analysis Beispiele

$\int_{2}^{4} 10 + 4 x - 3 x^{3} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{2}^{4} 10 d x + \int_{2}^{4} 4 x d x + \int_{2}^{4} - 3 x^{3} d x$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$10 x]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} 4 x d x + \int_{2}^{4} - 3 x^{3} d x$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$10 x]_{2}^{4} + 4 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} - 3 x^{3} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$10 x]_{2}^{4} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 3 x^{3} d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$10 x]_{2}^{4} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 3 x^{3} d x$

Schritt 6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$10 x]_{2}^{4} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - 3 \int_{2}^{4} x^{3} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$10 x]_{2}^{4} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - 3 (\frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4})$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$10 x]_{2}^{4} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - 3 (\frac{x^{4}}{4}]_{2}^{4})$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $10 x$ bei $4$ und $2$ .

$(10 \cdot 4) - 10 \cdot 2 + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - 3 (\frac{x^{4}}{4}]_{2}^{4})$

Schritt 8.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $4$ und $2$ .

$10 \cdot 4 - 10 \cdot 2 + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 (\frac{x^{4}}{4}]_{2}^{4})$

Schritt 8.2.3

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $4$ und $2$ .

$10 \cdot 4 - 10 \cdot 2 + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4

Vereinfache.

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Schritt 8.2.4.1

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$40 - 10 \cdot 2 + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $2$ .

$40 - 20 + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.3

Subtrahiere $20$ von $40$ .

$20 + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$20 + 4 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 8.2.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$20 + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$20 + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$20 + 4 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.5.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$20 + 4 (8 - \frac{2^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$20 + 4 (8 - \frac{4}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 8.2.4.7.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$20 + 4 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.4.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$20 + 4 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 + 4 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$20 + 4 (8 - \frac{2}{1}) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.7.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$20 + 4 (8 - 1 \cdot 2) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$20 + 4 (8 - 2) - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.9

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$20 + 4 \cdot 6 - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.10

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$20 + 24 - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.11

Addiere $20$ und $24$ .

$44 - 3 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.12

Potenziere $4$ mit $4$ .

$44 - 3 (\frac{256}{4} - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $256$ und $4$ .

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Schritt 8.2.4.13.1

Faktorisiere $4$ aus $256$ heraus.

$44 - 3 (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.4.13.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$44 - 3 (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$44 - 3 (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$44 - 3 (\frac{64}{1} - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.13.2.4

Dividiere $64$ durch $1$ .

$44 - 3 (64 - \frac{2^{4}}{4})$

Schritt 8.2.4.14

Potenziere $2$ mit $4$ .

$44 - 3 (64 - \frac{16}{4})$

Schritt 8.2.4.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 8.2.4.15.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$44 - 3 (64 - \frac{4 \cdot 4}{4})$

Schritt 8.2.4.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.4.15.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$44 - 3 (64 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)})$

Schritt 8.2.4.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$44 - 3 (64 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1})$

Schritt 8.2.4.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$44 - 3 (64 - \frac{4}{1})$

Schritt 8.2.4.15.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$44 - 3 (64 - 1 \cdot 4)$

Schritt 8.2.4.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$44 - 3 (64 - 4)$

Schritt 8.2.4.17

Subtrahiere $4$ von $64$ .

$44 - 3 \cdot 60$

Schritt 8.2.4.18

Mutltipliziere $- 3$ mit $60$ .

$44 - 180$

Schritt 8.2.4.19

Subtrahiere $180$ von $44$ .

$- 136$

Schritt 9