Analysis Beispiele

$\int_{2}^{4} {(x^{2} + 2)}^{3} x d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} + 2$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 2$ ein.

$u_{lower} = 2^{2} + 2$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{lower} = 4 + 2$

Schritt 1.3.2

Addiere $4$ und $2$ .

$u_{lower} = 6$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 2$ ein.

$u_{upper} = 4^{2} + 2$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$u_{upper} = 16 + 2$

Schritt 1.5.2

Addiere $16$ und $2$ .

$u_{upper} = 18$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 18$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{6}^{18} u^{3} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{3}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{6}^{18} \frac{u^{3}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{6}^{18} u^{3} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{6}^{18}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{4} u^{4}$ bei $18$ und $6$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 18^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $18$ mit $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 104976 - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $104976$ .

$\frac{1}{2} (\frac{104976}{4} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $104976$ und $4$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $104976$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 26244}{4} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 26244}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 26244}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{26244}{1} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Schritt 5.2.3.2.4

Dividiere $26244$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (26244 - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

Schritt 5.2.4

Potenziere $6$ mit $4$ .

$\frac{1}{2} (26244 - \frac{1}{4} \cdot 1296)$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $1296$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (26244 - 1296 (\frac{1}{4}))$

Schritt 5.2.6

Kombiniere $- 1296$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{- 1296}{4})$

Schritt 5.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1296$ und $4$ .

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Schritt 5.2.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 1296$ heraus.

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{4 \cdot - 324}{4})$

Schritt 5.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{4 \cdot - 324}{4 (1)})$

Schritt 5.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{4 \cdot - 324}{4 \cdot 1})$

Schritt 5.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{- 324}{1})$

Schritt 5.2.7.2.4

Dividiere $- 324$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (26244 - 324)$

Schritt 5.2.8

Subtrahiere $324$ von $26244$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25920$

Schritt 5.2.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $25920$ .

$\frac{25920}{2}$

Schritt 5.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $25920$ und $2$ .

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Schritt 5.2.10.1

Faktorisiere $2$ aus $25920$ heraus.

$\frac{2 \cdot 12960}{2}$

Schritt 5.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 12960}{2 (1)}$

Schritt 5.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 12960}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12960}{1}$

Schritt 5.2.10.2.4

Dividiere $12960$ durch $1$ .

$12960$

Schritt 6