Analysis Beispiele

$\int_{2}^{4} \frac{w^{4} - w}{w^{3}} d w$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $w$ aus $w^{4} - w$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $w$ aus $w^{4}$ heraus.

$\int_{2}^{4} \frac{w \cdot w^{3} - w}{w^{3}} d w$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $w$ aus $- w$ heraus.

$\int_{2}^{4} \frac{w \cdot w^{3} + w \cdot - 1}{w^{3}} d w$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $w$ aus $w \cdot w^{3} + w \cdot - 1$ heraus.

$\int_{2}^{4} \frac{w (w^{3} - 1)}{w^{3}} d w$

Schritt 1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $w$ aus $w^{3}$ heraus.

$\int_{2}^{4} \frac{w (w^{3} - 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{2}^{4} \frac{w (w^{3} - 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

Schritt 1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{2}^{4} \frac{w^{3} - 1}{w^{2}} d w$

Schritt 1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1

Bringe $w^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{2}^{4} (w^{3} - 1) {(w^{2})}^{- 1} d w$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(w^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{4} (w^{3} - 1) w^{2 \cdot - 1} d w$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int_{2}^{4} (w^{3} - 1) w^{- 2} d w$

Schritt 2

Multipliziere $(w^{3} - 1) w^{- 2}$ .

$\int_{2}^{4} w^{3} w^{- 2} - 1 w^{- 2} d w$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multipliziere $w^{3}$ mit $w^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{2}^{4} w^{3 - 2} - 1 w^{- 2} d w$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\int_{2}^{4} w^{1} - 1 w^{- 2} d w$

Schritt 3.2

Vereinfache $w^{1}$ .

$\int_{2}^{4} w - 1 w^{- 2} d w$

Schritt 3.3

Schreibe $- 1 w^{- 2}$ als $- w^{- 2}$ um.

$\int_{2}^{4} w - w^{- 2} d w$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{2}^{4} w d w + \int_{2}^{4} - w^{- 2} d w$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $w$ nach $w$ gleich $\frac{1}{2} w^{2}$ .

$\frac{1}{2} w^{2}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} - w^{- 2} d w$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $w$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} w^{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} w^{- 2} d w$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $w^{- 2}$ nach $w$ gleich $- w^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} w^{2}]_{2}^{4} - (- w^{- 1}]_{2}^{4})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{1}{2} w^{2}$ bei $4$ und $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- w^{- 1}]_{2}^{4})$

Schritt 8.2

Berechne $- w^{- 1}$ bei $4$ und $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $16$ .

$\frac{16}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 8.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Schritt 8.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Schritt 8.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Schritt 8.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{1} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Schritt 8.3.3.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$8 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Schritt 8.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 - \frac{1}{2} \cdot 4 - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Schritt 8.3.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$8 - 4 (\frac{1}{2}) - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Schritt 8.3.6

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$8 + \frac{- 4}{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Schritt 8.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 8.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$8 + \frac{2 \cdot - 2}{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Schritt 8.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Schritt 8.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Schritt 8.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 + \frac{- 2}{1} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Schritt 8.3.7.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$8 - 2 - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Schritt 8.3.8

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$6 - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

Schritt 8.3.9

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + 2^{- 1})$

Schritt 8.3.10

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2})$

Schritt 8.3.11

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 8.3.12

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.12.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2})$

Schritt 8.3.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{4})$

Schritt 8.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 - \frac{- 1 + 2}{4}$

Schritt 8.3.14

Addiere $- 1$ und $2$ .

$6 - \frac{1}{4}$

Schritt 8.3.15

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 8.3.16

Kombiniere $6$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 8.3.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 \cdot 4 - 1}{4}$

Schritt 8.3.18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.18.1

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$\frac{24 - 1}{4}$

Schritt 8.3.18.2

Subtrahiere $1$ von $24$ .

$\frac{23}{4}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{23}{4}$

Dezimalform:

$5.75$

Darstellung als gemischte Zahl:

$5 \frac{3}{4}$

Schritt 10