Analysis Beispiele

$\int_{2}^{5} 2 + 2 t + 3 t^{2} d t$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{2}^{5} 2 d t + \int_{2}^{5} 2 t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$2 t]_{2}^{5} + \int_{2}^{5} 2 t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 t]_{2}^{5} + 2 \int_{2}^{5} t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 \int_{2}^{5} t^{2} d t$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{2}^{5})$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t^{3}$ .

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $2 t$ bei $5$ und $2$ .

$(2 \cdot 5) - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

Schritt 8.2.2

Berechne $\frac{t^{2}}{2}$ bei $5$ und $2$ .

$2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

Schritt 8.2.3

Berechne $\frac{t^{3}}{3}$ bei $5$ und $2$ .

$2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4

Vereinfache.

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Schritt 8.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$10 - 4 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.3

Subtrahiere $4$ von $10$ .

$6 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 8.2.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.4.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.6.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 2) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.8

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.9

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$6 + 2 (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 + 2 \frac{25 - 2 \cdot 2}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.4.11.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$6 + 2 \frac{25 - 4}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.11.2

Subtrahiere $4$ von $25$ .

$6 + 2 (\frac{21}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.12

Kombiniere $2$ und $\frac{21}{2}$ .

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.13

Mutltipliziere $2$ mit $21$ .

$6 + \frac{42}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $42$ und $2$ .

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Schritt 8.2.4.14.1

Faktorisiere $2$ aus $42$ heraus.

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.4.14.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2 (1)} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 1} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 + \frac{21}{1} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.14.2.4

Dividiere $21$ durch $1$ .

$6 + 21 + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.15

Addiere $6$ und $21$ .

$27 + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.16

Potenziere $5$ mit $3$ .

$27 + 3 (\frac{125}{3} - \frac{2^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.17

Potenziere $2$ mit $3$ .

$27 + 3 (\frac{125}{3} - \frac{8}{3})$

Schritt 8.2.4.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$27 + 3 \frac{125 - 8}{3}$

Schritt 8.2.4.19

Subtrahiere $8$ von $125$ .

$27 + 3 (\frac{117}{3})$

Schritt 8.2.4.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $117$ und $3$ .

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Schritt 8.2.4.20.1

Faktorisiere $3$ aus $117$ heraus.

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3}$

Schritt 8.2.4.20.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.4.20.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3 (1)}$

Schritt 8.2.4.20.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1}$

Schritt 8.2.4.20.2.3

Forme den Ausdruck um.

$27 + 3 (\frac{39}{1})$

Schritt 8.2.4.20.2.4

Dividiere $39$ durch $1$ .

$27 + 3 \cdot 39$

Schritt 8.2.4.21

Mutltipliziere $3$ mit $39$ .

$27 + 117$

Schritt 8.2.4.22

Addiere $27$ und $117$ .

$144$

Schritt 9