Analysis Beispiele

$\int_{2}^{4} \sqrt{8 x - 16} d x$

Schritt 1

Sei $u = 8 x - 16$ . Dann ist $d u = 8 d x$ , folglich $\frac{1}{8} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 8 x - 16$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $8 x - 16$ .

$\frac{d}{d x} [8 x - 16]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- 16]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $8$ und $0$ .

$8$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 8 x - 16$ ein.

$u_{lower} = 8 \cdot 2 - 16$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$u_{lower} = 16 - 16$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 8 x - 16$ ein.

$u_{upper} = 8 \cdot 4 - 16$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$u_{upper} = 32 - 16$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $16$ von $32$ .

$u_{upper} = 16$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{16} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{8}$ .

$\int_{0}^{16} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{16} \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{16}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $16$ und $0$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.4

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $64$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$\frac{1}{8} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{1}{8} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.8

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 6.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{8} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 6.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{8} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 6.2.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{8} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Schritt 6.2.11

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{8} (\frac{128}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Schritt 6.2.12

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{128}{3} + 0)$

Schritt 6.2.13

Addiere $\frac{128}{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{128}{3}$

Schritt 6.2.14

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{128}{3}$ .

$\frac{128}{8 \cdot 3}$

Schritt 6.2.15

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$\frac{128}{24}$

Schritt 6.2.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $128$ und $24$ .

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Schritt 6.2.16.1

Faktorisiere $8$ aus $128$ heraus.

$\frac{8 (16)}{24}$

Schritt 6.2.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.16.2.1

Faktorisiere $8$ aus $24$ heraus.

$\frac{8 \cdot 16}{8 \cdot 3}$

Schritt 6.2.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \cdot 16}{8 \cdot 3}$

Schritt 6.2.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{16}{3}$

Dezimalform:

$5.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$5 \frac{1}{3}$

Schritt 8