Analysis Beispiele

$\int_{- 2}^{2} 36^{\frac{x}{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{x}{2}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2} d x$ , folglich $2 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{x}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \frac{x}{2}$ ein.

$u_{lower} = \frac{- 2}{2}$

Schritt 1.3

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$u_{lower} = - 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \frac{x}{2}$ ein.

$u_{upper} = \frac{2}{2}$

Schritt 1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 1}^{1} 36^{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\int_{- 1}^{1} 36^{u} \cdot (1 \cdot 2) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int_{- 1}^{1} 36^{u} \cdot 2 d u$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $36^{u}$ .

$\int_{- 1}^{1} 2 \cdot 36^{u} d u$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{- 1}^{1} 36^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $36^{u}$ nach $u$ ist $\frac{36^{u}}{\ln (36)}$ .

$2 (\frac{36^{u}}{\ln (36)}]_{- 1}^{1})$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{36^{u}}{\ln (36)}$ bei $1$ und $- 1$ .

$2 ((\frac{36^{1}}{\ln (36)}) - \frac{36^{- 1}}{\ln (36)})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne den Exponenten.

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - \frac{36^{- 1}}{\ln (36)})$

Schritt 5.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - \frac{\frac{1}{36}}{\ln (36)})$

Schritt 5.2.3

Schreibe $\frac{\frac{1}{36}}{\ln (36)}$ als ein Produkt um.

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - (\frac{1}{36} \cdot \frac{1}{\ln (36)}))$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{36}$ mit $\frac{1}{\ln (36)}$ .

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - \frac{1}{36 \ln (36)})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 (\frac{36}{\ln (36)} - \frac{1}{36 \ln (36)})$

Dezimalform:

$20.07647948 \dots$

Schritt 7