Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{4 x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(e^{4 x})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{4 x})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{4 x \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\int 1 e^{- 4 x} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $e^{- 4 x}$ mit $1$ .

$\int e^{- 4 x} d x$

Schritt 2

Sei $u = - 4 x$ . Dann ist $d u = - 4 d x$ , folglich $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = - 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.1.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{4} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$- \frac{1}{4} e^{u} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $- 4 x$ .

$- \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$