Analysis Beispiele

$\int_{2}^{3} 1 + 2 e^{- 0.4 x} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{2}^{3} d x + \int_{2}^{3} 2 e^{- 0.4 x} d x$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$x]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} 2 e^{- 0.4 x} d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{2}^{3} e^{- 0.4 x} d x$

Schritt 4

Sei $u = - 0.4 x$ . Dann ist $d u = - 0.4 d x$ , folglich $\frac{1}{- 0.4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = - 0.4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $- 0.4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.4 x]$

Schritt 4.1.2

Da $- 0.4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.4 x$ nach $x$ gleich $- 0.4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 0.4 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 0.4$ mit $1$ .

$- 0.4$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - 0.4 x$ ein.

$u_{lower} = - 0.4 \cdot 2$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 0.4$ mit $2$ .

$u_{lower} = - 0.8$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - 0.4 x$ ein.

$u_{upper} = - 0.4 \cdot 3$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- 0.4$ mit $3$ .

$u_{upper} = - 1.2$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 0.8$

$u_{upper} = - 1.2$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} \frac{1}{- 0.4} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} (- \frac{1}{0.4}) d u$

Schritt 5.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{0.4}$ .

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} - \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x]_{2}^{3} + 2 (- \int_{- 0.8}^{- 1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u)$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x]_{2}^{3} - 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{0.4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{0.4}$ aus dem Integral.

$x]_{2}^{3} - 2 (\frac{1}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{0.4}$ und $- 2$ .

$x]_{2}^{3} + \frac{- 2}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u$

Schritt 9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x]_{2}^{3} - \frac{2}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u$

Schritt 10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$x]_{2}^{3} - \frac{2}{0.4} e^{u}]_{- 0.8}^{- 1.2}$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $x$ bei $3$ und $2$ .

$(3) - 2 - \frac{2}{0.4} e^{u}]_{- 0.8}^{- 1.2}$

Schritt 11.2

Berechne $e^{u}$ bei $- 1.2$ und $- 0.8$ .

$(3) - 2 - \frac{2}{0.4} ((e^{- 1.2}) - e^{- 0.8})$

Schritt 11.3

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$1 - \frac{2}{0.4} (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Dividiere $2$ durch $0.4$ .

$1 - 1 \cdot 5 (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Schritt 12.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$1 - 5 (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

Schritt 12.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - 5 e^{- 1.2} - 5 (- e^{- 0.8})$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$1 - 5 e^{- 1.2} + 5 e^{- 0.8}$

Schritt 12.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 5 \frac{1}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Schritt 12.2.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{e^{1.2}}$ .

$1 + \frac{- 5}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Schritt 12.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

Schritt 12.2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + 5 \frac{1}{e^{0.8}}$

Schritt 12.2.5

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{e^{0.8}}$ .

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + \frac{5}{e^{0.8}}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + \frac{5}{e^{0.8}}$

Dezimalform:

$1.74067376 \dots$

Schritt 14