Analysis Beispiele

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} + \frac{2}{a} d a$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Schritt 2

Da $0.1$ konstant bezüglich $a$ ist, ziehe $0.1$ aus dem Integral.

$0.1 \int_{2}^{3} e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Schritt 3

Sei $u = - 0.1 a$ . Dann ist $d u = - 0.1 d a$ , folglich $\frac{1}{- 0.1} d u = d a$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = - 0.1 a$ . Ermittle $\frac{d u}{d a}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $- 0.1 a$ .

$\frac{d}{d a} [- 0.1 a]$

Schritt 3.1.2

Da $- 0.1$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $- 0.1 a$ nach $a$ gleich $- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$ .

$- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 0.1 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 0.1$ mit $1$ .

$- 0.1$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $a$ in $u = - 0.1 a$ ein.

$u_{lower} = - 0.1 \cdot 2$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 0.1$ mit $2$ .

$u_{lower} = - 0.2$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $a$ in $u = - 0.1 a$ ein.

$u_{upper} = - 0.1 \cdot 3$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 0.1$ mit $3$ .

$u_{upper} = - 0.3$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 0.2$

$u_{upper} = - 0.3$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Schritt 4.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{0.1}$ .

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$0.1 (- \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.1$ .

$- 0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Schritt 7

Da $\frac{1}{0.1}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{0.1}$ aus dem Integral.

$- 0.1 (\frac{1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{0.1}$ und $- 0.1$ .

$\frac{- 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 0.1$ und $0.1$ .

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Schritt 8.2.1

Schreibe $- 0.1$ als $- 1 (0.1)$ um.

$\frac{- 1 (0.1)}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 \cdot 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Schritt 8.2.3

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

Schritt 10

Da $2$ konstant bezüglich $a$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 \int_{2}^{3} \frac{1}{a} d a$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{a}$ nach $a$ ist $\ln (| a |)$ .

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

Schritt 12

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 12.1

Berechne $e^{u}$ bei $- 0.3$ und $- 0.2$ .

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

Schritt 12.2

Berechne $\ln (| a |)$ bei $3$ und $2$ .

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |))$

Schritt 12.3

Entferne die Klammern.

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))$

Schritt 13

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (e^{- 0.3} - \frac{1}{e^{0.2}}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Schritt 14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- e^{- 0.3} - - \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Schritt 14.3

Multipliziere $- - \frac{1}{e^{0.2}}$ .

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Schritt 14.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- e^{- 0.3} + 1 \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{0.2}}$ mit $1$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Schritt 14.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Schritt 14.5

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 14.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

Dezimalform:

$0.88884274 \dots$

Schritt 16