Analysis Beispiele

$\int_{2}^{3} {(2 + 2 x)}^{2} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 + 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 2 + 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $2 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 2 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 2$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 + 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 + 2 \cdot 2$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u_{lower} = 2 + 4$

Schritt 1.3.2

Addiere $2$ und $4$ .

$u_{lower} = 6$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 + 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 + 2 \cdot 3$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$u_{upper} = 2 + 6$

Schritt 1.5.2

Addiere $2$ und $6$ .

$u_{upper} = 8$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 8$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{6}^{8} u^{2} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{6}^{8} \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{6}^{8} u^{2} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} u^{3}]_{6}^{8}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{3} u^{3}$ bei $8$ und $6$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 8^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 6^{3})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 512 - \frac{1}{3} \cdot 6^{3})$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $512$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - \frac{1}{3} \cdot 6^{3})$

Schritt 5.2.3

Potenziere $6$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - \frac{1}{3} \cdot 216)$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $216$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - 216 (\frac{1}{3}))$

Schritt 5.2.5

Kombiniere $- 216$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{- 216}{3})$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 216$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 216$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 72}{3})$

Schritt 5.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 72}{3 (1)})$

Schritt 5.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 72}{3 \cdot 1})$

Schritt 5.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{- 72}{1})$

Schritt 5.2.6.2.4

Dividiere $- 72$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - 72)$

Schritt 5.2.7

Um $- 72$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - 72 \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 5.2.8

Kombiniere $- 72$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{- 72 \cdot 3}{3})$

Schritt 5.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{512 - 72 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.10.1

Mutltipliziere $- 72$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{512 - 216}{3}$

Schritt 5.2.10.2

Subtrahiere $216$ von $512$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{296}{3}$

Schritt 5.2.11

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{296}{3}$ .

$\frac{296}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2.12

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{296}{6}$

Schritt 5.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $296$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $296$ heraus.

$\frac{2 (148)}{6}$

Schritt 5.2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 148}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 148}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{148}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{148}{3}$

Dezimalform:

$49.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$49 \frac{1}{3}$

Schritt 7