Analysis Beispiele

$\int_{2}^{3} \frac{2 + u^{2}}{u^{3}} d u$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $u^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) {(u^{3})}^{- 1} d u$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{3 \cdot - 1} d u$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{- 3} d u$

Schritt 2

Multipliziere $(2 + u^{2}) u^{- 3}$ .

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2} u^{- 3} d u$

Schritt 3

Multipliziere $u^{2}$ mit $u^{- 3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2 - 3} d u$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{- 1} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{2}^{3} u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 3}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $u^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Schritt 7.2

Bringe $u^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

Schritt 8

Das Integral von $u^{- 1}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Berechne $- \frac{1}{2 u^{2}}$ bei $3$ und $2$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

Schritt 9.1.2

Berechne $\ln (| u |)$ bei $3$ und $2$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Schritt 9.1.3

Vereinfache.

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Schritt 9.1.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Schritt 9.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Schritt 9.1.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 4}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Schritt 9.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Schritt 9.1.3.5

Um $- \frac{1}{18}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Schritt 9.1.3.6

Um $\frac{1}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Schritt 9.1.3.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $72$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.1.3.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{18}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{4}{18 \cdot 4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Schritt 9.1.3.7.2

Mutltipliziere $18$ mit $4$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Schritt 9.1.3.7.3

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{8 \cdot 9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Schritt 9.1.3.7.4

Mutltipliziere $8$ mit $9$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Schritt 9.1.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{- 4 + 9}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Schritt 9.1.3.9

Addiere $- 4$ und $9$ .

$2 (\frac{5}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Schritt 9.1.3.10

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{72}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Schritt 9.1.3.11

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{10}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Schritt 9.1.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $72$ .

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Schritt 9.1.3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 (5)}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Schritt 9.1.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.3.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $72$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Schritt 9.1.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

Schritt 9.1.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

$\frac{5}{36} + \ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)$

Schritt 9.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Schritt 9.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

Dezimalform:

$0.54435399 \dots$

Schritt 11