Analysis Beispiele

$\int_{- 2}^{1} (5 - x^{2}) - (x + 3) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 2}^{1} 5 d x + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$5 x]_{- 2}^{1} + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 x]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - (x + 3) d x$

Schritt 6

Multipliziere $- (x + 3)$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x - 1 \cdot 3 d x$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x - 3 d x$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$5 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + - 3 x]_{- 2}^{1}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Vereinfache.

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Schritt 13.1.1

Kombiniere $5 x]_{- 2}^{1}$ und $- 3 x]_{- 2}^{1}$ .

$5 x - 3 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

Schritt 13.1.2

Subtrahiere $3 x$ von $5 x$ .

$2 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

Schritt 13.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 13.2.1

Berechne $2 x$ bei $1$ und $- 2$ .

$(2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

Schritt 13.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $- 2$ .

$(2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1})$

Schritt 13.2.3

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $- 2$ .

$(2 \cdot 1) - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4

Vereinfache.

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Schritt 13.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$2 + 4 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.3

Addiere $2$ und $4$ .

$6 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$6 - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.5

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$6 - (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 - (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$6 - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.8

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $1$ .

$6 - (\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 - \frac{1 + 8}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.10

Addiere $1$ und $8$ .

$6 - \frac{9}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 13.2.4.11.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$6 - \frac{3 \cdot 3}{3} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.4.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$6 - \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 - \frac{3}{1} - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.11.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$6 - 1 \cdot 3 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$6 - 3 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.13

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$3 - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.14

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 13.2.4.15

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{4}{2})$

Schritt 13.2.4.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 13.2.4.16.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Schritt 13.2.4.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.4.16.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Schritt 13.2.4.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Schritt 13.2.4.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 - (\frac{1}{2} - \frac{2}{1})$

Schritt 13.2.4.16.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$3 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2)$

Schritt 13.2.4.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 - (\frac{1}{2} - 2)$

Schritt 13.2.4.18

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 13.2.4.19

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})$

Schritt 13.2.4.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 13.2.4.21

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.4.21.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$3 - \frac{1 - 4}{2}$

Schritt 13.2.4.21.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$3 - \frac{- 3}{2}$

Schritt 13.2.4.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 - - \frac{3}{2}$

Schritt 13.2.4.23

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 + 1 (\frac{3}{2})$

Schritt 13.2.4.24

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$3 + \frac{3}{2}$

Schritt 13.2.4.25

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 13.2.4.26

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 13.2.4.27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 \cdot 2 + 3}{2}$

Schritt 13.2.4.28

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.4.28.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 + 3}{2}$

Schritt 13.2.4.28.2

Addiere $6$ und $3$ .

$\frac{9}{2}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{9}{2}$

Dezimalform:

$4.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$4 \frac{1}{2}$

Schritt 15