Analysis Beispiele

$\int_{- 2}^{- 1} 7 y^{3} + 4 y^{- 3} d y$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 2}^{- 1} 7 y^{3} d y + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Schritt 2

Da $7$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$7 \int_{- 2}^{- 1} y^{3} d y + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$7 (\frac{1}{4} y^{4}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y^{4}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 \int_{- 2}^{- 1} y^{- 3} d y$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 3}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 (- \frac{1}{2} y^{- 2}]_{- 2}^{- 1})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Kombiniere $y^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 (- \frac{y^{- 2}}{2}]_{- 2}^{- 1})$

Schritt 7.1.2

Bringe $y^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 (- \frac{1}{2 y^{2}}]_{- 2}^{- 1})$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{y^{4}}{4}$ bei $- 1$ und $- 2$ .

$7 ((\frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 4 (- \frac{1}{2 y^{2}}]_{- 2}^{- 1})$

Schritt 7.2.2

Berechne $- \frac{1}{2 y^{2}}$ bei $- 1$ und $- 2$ .

$7 ((\frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$7 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.2

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$7 (\frac{1}{4} - \frac{16}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4}{1}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.3.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$7 (\frac{1}{4} - 1 \cdot 4) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$7 (\frac{1}{4} - 4) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.5

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$7 (\frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.6

Kombiniere $- 4$ und $\frac{4}{4}$ .

$7 (\frac{1}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 \frac{1 - 4 \cdot 4}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.8.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$7 \frac{1 - 16}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.8.2

Subtrahiere $16$ von $1$ .

$7 (\frac{- 15}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$7 (- \frac{15}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- 7 (\frac{15}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.11

Kombiniere $- 7$ und $\frac{15}{4}$ .

$\frac{- 7 \cdot 15}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.12

Mutltipliziere $- 7$ mit $15$ .

$\frac{- 105}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{105}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.14

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.15

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.3.16

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 4})$

Schritt 7.2.3.17

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{8})$

Schritt 7.2.3.18

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8})$

Schritt 7.2.3.19

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.19.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{8})$

Schritt 7.2.3.19.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{4}{8} + \frac{1}{8})$

Schritt 7.2.3.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{105}{4} + 4 \frac{- 4 + 1}{8}$

Schritt 7.2.3.21

Addiere $- 4$ und $1$ .

$- \frac{105}{4} + 4 (\frac{- 3}{8})$

Schritt 7.2.3.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{3}{8})$

Schritt 7.2.3.23

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- \frac{105}{4} - 4 (\frac{3}{8})$

Schritt 7.2.3.24

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{8}$ .

$- \frac{105}{4} + \frac{- 4 \cdot 3}{8}$

Schritt 7.2.3.25

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$- \frac{105}{4} + \frac{- 12}{8}$

Schritt 7.2.3.26

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.26.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$- \frac{105}{4} + \frac{4 (- 3)}{8}$

Schritt 7.2.3.26.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.26.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- \frac{105}{4} + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3.26.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{105}{4} + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3.26.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{105}{4} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 7.2.3.27

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{105}{4} - \frac{3}{2}$

Schritt 7.2.3.28

Um $- \frac{3}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{105}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.2.3.29

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.29.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{105}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.3.29.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{105}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

Schritt 7.2.3.30

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 105 - 3 \cdot 2}{4}$

Schritt 7.2.3.31

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.31.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{- 105 - 6}{4}$

Schritt 7.2.3.31.2

Subtrahiere $6$ von $- 105$ .

$\frac{- 111}{4}$

Schritt 7.2.3.32

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{111}{4}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{111}{4}$

Dezimalform:

$- 27.75$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 27 \frac{3}{4}$

Schritt 9