Analysis Beispiele

$\int_{1}^{36} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{36} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 1.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{36} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{36} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{1}^{36} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{36} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{36}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $2 x^{\frac{1}{2}}$ bei $36$ und $1$ .

$(2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 6^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.4

Berechne den Exponenten.

$2 \cdot 6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$12 - 2 \cdot 1$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$12 - 2$

Schritt 3.2.8

Subtrahiere $2$ von $12$ .

$10$

Schritt 4