Analysis Beispiele

$\int 12 x^{- 3} + e^{6 x} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 12 x^{- 3} d x + \int e^{6 x} d x$

Schritt 2

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int x^{- 3} d x + \int e^{6 x} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$12 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int e^{6 x} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$12 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int e^{6 x} d x$

Schritt 4.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int e^{6 x} d x$

Schritt 5

Sei $u = 6 x$ . Dann ist $d u = 6 d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 6 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 5.1.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int e^{u} \frac{1}{6} d u$

Schritt 6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{6}$ .

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int \frac{e^{u}}{6} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{1}{6} \int e^{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{1}{6} (e^{u} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$\frac{- 6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{u} + C$

Schritt 9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{u} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $6 x$ .

$- \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$