Analysis Beispiele

$\int 12 \sqrt[3]{\sin (x)} \cos (x) d x$

Schritt 1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int \sqrt[3]{\sin (x)} \cos (x) d x$

Schritt 2

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$12 \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$12 \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$12 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe $12 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ als $12 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$ um.

$12 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kombiniere $12$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$\frac{36}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$\frac{4 \cdot 9}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 9}{4 (1)} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 5.2.3.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$9 u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$9 {\sin (x)}^{\frac{4}{3}} + C$