Analysis Beispiele

$\int 12 x - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 12 x d x + \int - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int x d x + \int - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 6.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$12 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 6.2.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 6.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 6.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 6.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$12 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$6 x^{2} - 4 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$6 x^{2} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$