Analysis Beispiele

$\int 12 x \cos (6 x^{2} + 1) d x$

Schritt 1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int x \cos (6 x^{2} + 1) d x$

Schritt 2

Sei $u = 6 x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 12 x d x$ , folglich $\frac{1}{12} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 6 x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $6 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $12 x$ und $0$ .

$12 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$12 \int \cos (u) \frac{1}{12} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{12}$ .

$12 \int \frac{\cos (u)}{12} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{12}$ aus dem Integral.

$12 (\frac{1}{12} \int \cos (u) d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $12$ .

$\frac{12}{12} \int \cos (u) d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12}{12} \int \cos (u) d u$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \cos (u) d u$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\int \cos (u) d u$ mit $1$ .

$\int \cos (u) d u$

Schritt 6

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\sin (u) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $6 x^{2} + 1$ .

$\sin (6 x^{2} + 1) + C$