Analysis Beispiele

$\int 12 x \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int 12 x \cdot x^{\frac{1}{3}} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int 12 (x^{\frac{1}{3}} x) d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x$ .

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Schritt 1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 12 (x^{\frac{1}{3}} x^{1}) d x$

Schritt 1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 12 x^{\frac{1}{3} + 1} d x$

Schritt 1.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int 12 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} d x$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 12 x^{\frac{1 + 3}{3}} d x$

Schritt 1.2.5

Addiere $1$ und $3$ .

$\int 12 x^{\frac{4}{3}} d x$

Schritt 2

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int x^{\frac{4}{3}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{4}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$12 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Schreibe $12 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$ als $12 (\frac{3}{7}) x^{\frac{7}{3}} + C$ um.

$12 (\frac{3}{7}) x^{\frac{7}{3}} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $12$ und $\frac{3}{7}$ .

$\frac{12 \cdot 3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$\frac{36}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$