Analysis Beispiele

$\int 16 \ln (\sqrt[3]{x}) d x$

Schritt 1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$16 \int \ln (\sqrt[3]{x}) d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (\sqrt[3]{x})$ und $d v = 1$ .

$16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x - \int x \frac{1}{3 x} d x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3 x}$ .

$16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x - \int \frac{x}{3 x} d x)$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x - \int \frac{x}{3 x} d x)$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x - \int \frac{1}{3} d x)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x - (\frac{1}{3} x + C))$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Schreibe $16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x - (\frac{1}{3} x + C))$ als $16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x - \frac{1}{3} x) + C$ um.

$16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x - \frac{1}{3} x) + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3}$ .

$16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x - \frac{x}{3}) + C$

Schritt 5.2.2

Um $\ln (\sqrt[3]{x}) x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$16 (\ln (\sqrt[3]{x}) x \cdot \frac{3}{3} - \frac{x}{3}) + C$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $\ln (\sqrt[3]{x}) x$ und $\frac{3}{3}$ .

$16 (\frac{\ln (\sqrt[3]{x}) x \cdot 3}{3} - \frac{x}{3}) + C$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$16 \frac{\ln (\sqrt[3]{x}) x \cdot 3 - x}{3} + C$

Schritt 5.2.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (\sqrt[3]{x}) x$ .

$16 \frac{3 \cdot (\ln (\sqrt[3]{x}) x) - x}{3} + C$

Schritt 5.2.6

Kombiniere $16$ und $\frac{3 \ln (\sqrt[3]{x}) x - x}{3}$ .

$\frac{16 (3 \ln (\sqrt[3]{x}) x - x)}{3} + C$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{16}{3} (3 \ln (\sqrt[3]{x}) x - x) + C$