Analysis Beispiele

$\int 16 \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

Schritt 1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$16 \int \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Schreibe $6$ um als $4$ plus $2$

$16 \int \tan^{4} (x) {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sec (x)}^{4 + 2}$ als $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ um.

$16 \int \tan^{4} (x) (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Schritt 2.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$16 \int \tan^{4} (x) ({\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x)) d x$

Schritt 2.4

Schreibe ${\sec (x)}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$16 \int \tan^{4} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

$16 \int \tan^{4} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Schritt 3

Schreibe $\sec^{2} (x)$ in $1 + \tan^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$16 \int \tan^{4} (x) ({(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Schritt 4

Sei $u = \tan (x)$ . Dann ist $d u = \sec^{2} (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = \tan (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

$\sec^{2} (x)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$16 \int u^{4} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

$16 \int u^{4} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

Schritt 5

Multipliziere $u^{4} {(1 + u^{2})}^{2}$ aus.

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Schritt 5.1

Schreibe ${(1 + u^{2})}^{2}$ als $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ um.

$16 \int u^{4} ((1 + u^{2}) (1 + u^{2})) d u$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$16 \int u^{4} (1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Schritt 5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Schritt 5.6

Wende das Distributivgesetz an.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Schritt 5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Schritt 5.8

Bewege $u^{4}$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Schritt 5.9

Stelle $u^{4}$ und $1$ um.

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Schritt 5.10

Stelle $u^{2}$ und $1$ um.

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (1 \cdot u^{2}) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Schritt 5.11

Stelle $u^{4}$ und $1$ um.

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + 1 \cdot u^{4} \cdot u^{2} + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

Schritt 5.12

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$16 \int 1 u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.13

Mutltipliziere $u^{4}$ mit $1$ .

$16 \int u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.14

Mutltipliziere $u^{4}$ mit $1$ .

$16 \int u^{4} + u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 \int u^{4} + u^{4 + 2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.16

Addiere $4$ und $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.17

Mutltipliziere $u^{4}$ mit $1$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4 + 2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.19

Addiere $4$ und $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4 + 2} u^{2} d u$

Schritt 5.21

Addiere $4$ und $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6} u^{2} d u$

Schritt 5.22

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6 + 2} d u$

Schritt 5.23

Addiere $6$ und $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{8} d u$

Schritt 5.24

Addiere $u^{6}$ und $u^{6}$ .

$16 \int u^{4} + 2 u^{6} + u^{8} d u$

Schritt 5.25

Stelle $2 u^{6}$ und $u^{8}$ um.

$16 \int u^{4} + u^{8} + 2 u^{6} d u$

Schritt 5.26

Bewege $u^{4}$ .

$16 \int u^{8} + 2 u^{6} + u^{4} d u$

$16 \int u^{8} + 2 u^{6} + u^{4} d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$16 (\int u^{8} d u + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{8}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 \int u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{6}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int u^{4} d u)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $u^{7}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Schritt 11.1.2

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $u^{9}$ .

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Schritt 11.1.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $u^{5}$ .

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$16 (\frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}) + C$

$16 (\frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$16 (\frac{\tan^{9} (x)}{9} + \frac{2 \tan^{7} (x)}{7} + \frac{\tan^{5} (x)}{5}) + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$16 (\frac{1}{9} \tan^{9} (x) + \frac{2}{7} \tan^{7} (x) + \frac{1}{5} \tan^{5} (x)) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$