Analysis Beispiele

$\int 16 x^{2} e^{4 x^{3}} d x$

Schritt 1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$16 \int x^{2} e^{4 x^{3}} d x$

Schritt 2

Sei $u_{2} = e^{4 x^{3}}$ . Dann ist $d u_{2} = 12 x^{2} e^{4 x^{3}} d x$ , folglich $\frac{1}{12} d u_{2} = x^{2} e^{4 x^{3}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = e^{4 x^{3}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $e^{4 x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x^{3}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x^{3}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x^{3}$ .

$e^{4 x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{4 x^{3}} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$e^{4 x^{3}} (4 (3 x^{2}))$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$e^{4 x^{3}} (12 x^{2})$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{4 x^{3}} (12 x^{2})$ um.

$12 e^{4 x^{3}} x^{2}$

Schritt 2.1.4.2

Stelle die Faktoren in $12 e^{4 x^{3}} x^{2}$ um.

$12 x^{2} e^{4 x^{3}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$16 \int \frac{1}{12} d u_{2}$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$16 (\frac{1}{12} u_{2} + C)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Schreibe $16 (\frac{1}{12} u_{2} + C)$ als $16 (\frac{1}{12}) u_{2} + C$ um.

$16 (\frac{1}{12}) u_{2} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $16$ und $\frac{1}{12}$ .

$\frac{16}{12} u_{2} + C$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $12$ .

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 (4)}{12} u_{2} + C$

Schritt 4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3} u_{2} + C$

Schritt 4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3} u_{2} + C$

Schritt 4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{3} u_{2} + C$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{4 x^{3}}$ .

$\frac{4}{3} e^{4 x^{3}} + C$