Analysis Beispiele

$\int_{1}^{e} \frac{1 - \ln (x)}{x} d x$

Schritt 1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} + \frac{- \ln (x)}{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- \ln (x)}{x} d x$

Schritt 3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 6

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 6.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 6.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{lower} = \ln (1)$

Schritt 6.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 6.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{upper} = \ln (e)$

Schritt 6.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 6.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 6.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{0}^{1} u d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{1})$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\ln (| x |)$ bei $e$ und $1$ .

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Schritt 9.2

Berechne $\frac{u^{2}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Schritt 9.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 9.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 9.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 9.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 9.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Schritt 9.3.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - 0)$

Schritt 9.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} + 0)$

Schritt 9.3.5

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

Schritt 10

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

$e$ ist ungefähr $2.71828182$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\ln (\frac{e}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Schritt 11.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\ln (\frac{e}{1}) - \frac{1}{2}$

Schritt 11.3

Dividiere $e$ durch $1$ .

$\ln (e) - \frac{1}{2}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$1 - \frac{1}{2}$

Schritt 12.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - 1}{2}$

Schritt 12.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$