Analysis Beispiele

$\int_{1}^{e} 6 x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x^{2}$ .

$6 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$6 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{x^{3}}{3}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

Schritt 3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Schritt 3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{3} d x)$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x))$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e})$

Schritt 6.1.2

Kombiniere $\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}$ und $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

Schritt 6.2

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Berechne $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ bei $e$ und $1$ .

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

Schritt 6.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $e$ und $1$ .

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $\ln (1)$ mit $1$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Schritt 6.2.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3})$

Schritt 6.2.3.4

Mutltipliziere $\frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}))$

Schritt 6.2.3.5

Kombinieren.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Schritt 6.2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Schritt 6.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Schritt 6.2.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Schritt 6.2.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 3 (\frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

Schritt 6.2.3.9

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 3}{3}}{3 \cdot 3})$

Schritt 6.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.10.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3}}{3 \cdot 3})$

Schritt 6.2.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}}{3 \cdot 3})$

Schritt 6.2.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 3})$

Schritt 6.2.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 1}{1}}{3 \cdot 3})$

Schritt 6.2.3.10.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{3 \cdot 3})$

Schritt 6.2.3.11

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9})$

Schritt 6.2.3.12

Um $\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Schritt 6.2.3.13

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.13.1

Mutltipliziere $\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Schritt 6.2.3.13.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{9} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Schritt 6.2.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3 - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Schritt 6.2.3.15

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (e) e^{3}$ .

$6 (\frac{3 \ln (e) e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.1

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$6 (\frac{3 \cdot 1 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Schritt 7.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$6 (\frac{3 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Schritt 7.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} - - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Schritt 7.1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Schritt 7.1.1.5

Subtrahiere $e^{3}$ von $3 e^{3}$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

Schritt 7.1.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{0}{3})$

Schritt 7.1.3

Dividiere $0$ durch $3$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - 0)$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} + 0)$

Schritt 7.2

Addiere $\frac{2 e^{3} + 1}{9}$ und $0$ .

$6 \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 (2) \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Schritt 7.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

Schritt 7.3.4

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{2 e^{3} + 1}{3}$

Schritt 7.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ .

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

Dezimalform:

$27.44738256 \dots$