Analysis Beispiele

$\int_{1}^{e} \ln (x^{2}) d x$

Schritt 1

Schreibe $\ln (x^{2})$ als $2 \ln (x)$ um.

$\int_{1}^{e} 2 \ln (x) d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Schritt 3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = 1$ .

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\ln (x) x$ bei $e$ und $1$ .

$2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

Schritt 6.2

Berechne $x$ bei $e$ und $1$ .

$2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$2 (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$2 (e - \ln (1) - (e - 1))$

Schritt 7.1.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$2 (e - 0 - (e - 1))$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (e + 0 - (e - 1))$

Schritt 7.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (e + 0 - e - - 1)$

Schritt 7.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 (e + 0 - e + 1)$

Schritt 7.2

Addiere $e$ und $0$ .

$2 (e - e + 1)$

Schritt 7.3

Subtrahiere $e$ von $e$ .

$2 (0 + 1)$

Schritt 7.4

Addiere $0$ und $1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$