Analysis Beispiele

$\int_{1}^{9} \frac{x - 1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{9} \frac{x - 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{9} (x - 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{9} (x - 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{1}^{9} (x - 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{9} (x - 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4

Multipliziere $(x - 1) x^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{9} x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{1}^{9} x^{1} x^{- \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{9} x^{1 - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{9} x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{9} x^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5

Schreibe $- 1 x^{- \frac{1}{2}}$ als $- x^{- \frac{1}{2}}$ um.

$\int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{9} - x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} - x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ bei $9$ und $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Schritt 10.2

Berechne $2 x^{\frac{1}{2}}$ bei $9$ und $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $3$ .

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Schritt 10.3.7.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.7.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 1 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$18 - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.10

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.11

Kombiniere $18$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{18 \cdot 3 - 2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.13.1

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$\frac{54 - 2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.13.2

Subtrahiere $2$ von $54$ .

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.14

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{52}{3} - (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.15

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.16.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.17

Berechne den Exponenten.

$\frac{52}{3} - (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.18

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{52}{3} - (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.3.19

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{52}{3} - (6 - 2 \cdot 1)$

Schritt 10.3.20

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{52}{3} - (6 - 2)$

Schritt 10.3.21

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$\frac{52}{3} - 1 \cdot 4$

Schritt 10.3.22

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{52}{3} - 4$

Schritt 10.3.23

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 10.3.24

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Schritt 10.3.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{52 - 4 \cdot 3}{3}$

Schritt 10.3.26

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.26.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{52 - 12}{3}$

Schritt 10.3.26.2

Subtrahiere $12$ von $52$ .

$\frac{40}{3}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{40}{3}$

Dezimalform:

$13.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$13 \frac{1}{3}$

Schritt 12