Analysis Beispiele

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[3]{x - 9}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x - 9$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x - 9$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x - 9$ .

$\frac{d}{d x} [x - 9]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 1.1.4

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 9$ ein.

$u_{lower} = 1 - 9$

Schritt 1.3

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$u_{lower} = - 8$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 9$ ein.

$u_{upper} = 9 - 9$

Schritt 1.5

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 8$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 8}^{0} \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int_{- 8}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Schritt 2.2

Bringe $u^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{- 8}^{0} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 8}^{0} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\int_{- 8}^{0} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{- 8}^{0} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{- 8}^{0}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ bei $0$ und $- 8$ .

$(\frac{3}{2} \cdot 0^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\frac{3}{2} \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{2} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $0$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.6

Schreibe $- 8$ als ${(- 2)}^{3}$ um.

$0 - \frac{3}{2} {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$0 - \frac{3}{2} {(- 2)}^{2}$

Schritt 4.2.9

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Schritt 4.2.10

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$0 - 4 (\frac{3}{2})$

Schritt 4.2.11

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{2}$ .

$0 + \frac{- 4 \cdot 3}{2}$

Schritt 4.2.12

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$0 + \frac{- 12}{2}$

Schritt 4.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $2$ .

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Schritt 4.2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2}$

Schritt 4.2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Schritt 4.2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{- 6}{1}$

Schritt 4.2.13.2.4

Dividiere $- 6$ durch $1$ .

$0 - 6$

Schritt 4.2.14

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$- 6$

Schritt 5