Analysis Beispiele

$\int_{1}^{9} x - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{9} x d x + \int_{1}^{9} - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $9$ und $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Schritt 6.2

Berechne $2 x^{\frac{1}{2}}$ bei $9$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $81$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{81 - 1}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.6

Subtrahiere $1$ von $81$ .

$\frac{80}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $80$ und $2$ .

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Schritt 6.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $80$ heraus.

$\frac{2 \cdot 40}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 40}{2 (1)} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 40}{2 \cdot 1} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{40}{1} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.7.2.4

Dividiere $40$ durch $1$ .

$40 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.8

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$40 - (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.9

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$40 - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$40 - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.10.2

Forme den Ausdruck um.

$40 - (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.11

Berechne den Exponenten.

$40 - (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.12

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$40 - (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.13

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$40 - (6 - 2 \cdot 1)$

Schritt 6.3.14

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$40 - (6 - 2)$

Schritt 6.3.15

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$40 - 1 \cdot 4$

Schritt 6.3.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$40 - 4$

Schritt 6.3.17

Subtrahiere $4$ von $40$ .

$36$

Schritt 7