Analysis Beispiele

$\int_{1}^{9} 4 \sqrt{x} d x$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{1}^{9} \sqrt{x} d x$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 \int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9})$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{9})$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Berechne $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ bei $9$ und $1$ .

$4 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$4 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$4 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$4 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $3$ .

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Schritt 4.2.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$4 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$4 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.6.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$4 (18 - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 (18 - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Schritt 4.2.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 (18 - \frac{2}{3})$

Schritt 4.2.2.9

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Schritt 4.2.2.10

Kombiniere $18$ und $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Schritt 4.2.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Schritt 4.2.2.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.12.1

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$4 \frac{54 - 2}{3}$

Schritt 4.2.2.12.2

Subtrahiere $2$ von $54$ .

$4 (\frac{52}{3})$

Schritt 4.2.2.13

Kombiniere $4$ und $\frac{52}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 52}{3}$

Schritt 4.2.2.14

Mutltipliziere $4$ mit $52$ .

$\frac{208}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{208}{3}$

Dezimalform:

$69.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$69 \frac{1}{3}$

Schritt 6