Analysis Beispiele

$\int_{- 1.6}^{0.7} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 - x$ ein.

$u_{lower} = 1 - - 1.6$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1.6$ .

$u_{lower} = 1 + 1.6$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $1.6$ .

$u_{lower} = 2.6$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 - x$ ein.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 0.7$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.7$ .

$u_{upper} = 1 - 0.7$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $0.7$ von $1$ .

$u_{upper} = 0.3$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2.6$

$u_{upper} = 0.3$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{2.6}^{0.3} - u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{2.6}^{0.3} u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{2.6}^{0.3})$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $u^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{2.6}^{0.3})$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$ bei $0.3$ und $2.6$ .

$- ((\frac{3 \cdot {0.3}^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot {2.6}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $0.3$ mit $\frac{4}{3}$ .

$- (\frac{3 \cdot 0.20082988}{4} - \frac{3 \cdot {2.6}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $0.20082988$ .

$- (\frac{0.60248965}{4} - \frac{3 \cdot {2.6}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 5.2.3

Potenziere $2.6$ mit $\frac{4}{3}$ .

$- (\frac{0.60248965}{4} - \frac{3 \cdot 3.57517905}{4})$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $3.57517905$ .

$- (\frac{0.60248965}{4} - \frac{10.72553716}{4})$

Schritt 5.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{0.60248965 - 10.72553716}{4}$

Schritt 5.2.6

Subtrahiere $10.72553716$ von $0.60248965$ .

$- \frac{- 10.1230475}{4}$

Schritt 5.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{10.1230475}{4}$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{10.1230475}{4})$

Schritt 5.2.9

Mutltipliziere $\frac{10.1230475}{4}$ mit $1$ .

$\frac{10.1230475}{4}$

Schritt 6

Dividiere $10.1230475$ durch $4$ .

$2.53076187$

Schritt 7