Analysis Beispiele

$\int_{10}^{20} - 0.009 t^{2} + 0.5 t d t$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{10}^{20} - 0.009 t^{2} d t + \int_{10}^{20} 0.5 t d t$

Schritt 2

Da $- 0.009$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 0.009$ aus dem Integral.

$- 0.009 \int_{10}^{20} t^{2} d t + \int_{10}^{20} 0.5 t d t$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$- 0.009 (\frac{1}{3} t^{3}]_{10}^{20}) + \int_{10}^{20} 0.5 t d t$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t^{3}$ .

$- 0.009 (\frac{t^{3}}{3}]_{10}^{20}) + \int_{10}^{20} 0.5 t d t$

Schritt 5

Da $0.5$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $0.5$ aus dem Integral.

$- 0.009 (\frac{t^{3}}{3}]_{10}^{20}) + 0.5 \int_{10}^{20} t d t$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- 0.009 (\frac{t^{3}}{3}]_{10}^{20}) + 0.5 (\frac{1}{2} t^{2}]_{10}^{20})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$- 0.009 (\frac{t^{3}}{3}]_{10}^{20}) + 0.5 (\frac{t^{2}}{2}]_{10}^{20})$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{t^{3}}{3}$ bei $20$ und $10$ .

$- 0.009 ((\frac{20^{3}}{3}) - \frac{10^{3}}{3}) + 0.5 (\frac{t^{2}}{2}]_{10}^{20})$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{t^{2}}{2}$ bei $20$ und $10$ .

$- 0.009 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{10^{3}}{3}) + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Potenziere $20$ mit $3$ .

$- 0.009 (\frac{8000}{3} - \frac{10^{3}}{3}) + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.2

Potenziere $10$ mit $3$ .

$- 0.009 (\frac{8000}{3} - \frac{1000}{3}) + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 0.009 \frac{8000 - 1000}{3} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.4

Subtrahiere $1000$ von $8000$ .

$- 0.009 (\frac{7000}{3}) + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.5

Kombiniere $- 0.009$ und $\frac{7000}{3}$ .

$\frac{- 0.009 \cdot 7000}{3} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.6

Mutltipliziere $- 0.009$ mit $7000$ .

$\frac{- 63}{3} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 63$ und $3$ .

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Schritt 7.2.3.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 63$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 21}{3} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 21}{3 (1)} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 21}{3 \cdot 1} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 21}{1} + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.7.2.4

Dividiere $- 21$ durch $1$ .

$- 21 + 0.5 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.8

Potenziere $20$ mit $2$ .

$- 21 + 0.5 (\frac{400}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $400$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $400$ heraus.

$- 21 + 0.5 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{10^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 21 + 0.5 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{10^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 21 + 0.5 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{10^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 21 + 0.5 (\frac{200}{1} - \frac{10^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.9.2.4

Dividiere $200$ durch $1$ .

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{10^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.10

Potenziere $10$ mit $2$ .

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{100}{2})$

Schritt 7.2.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.11.1

Faktorisiere $2$ aus $100$ heraus.

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{2 \cdot 50}{2})$

Schritt 7.2.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{2 \cdot 50}{2 (1)})$

Schritt 7.2.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1})$

Schritt 7.2.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 21 + 0.5 (200 - \frac{50}{1})$

Schritt 7.2.3.11.2.4

Dividiere $50$ durch $1$ .

$- 21 + 0.5 (200 - 1 \cdot 50)$

Schritt 7.2.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $50$ .

$- 21 + 0.5 (200 - 50)$

Schritt 7.2.3.13

Subtrahiere $50$ von $200$ .

$- 21 + 0.5 \cdot 150$

Schritt 7.2.3.14

Mutltipliziere $0.5$ mit $150$ .

$- 21 + 75$

Schritt 7.2.3.15

Addiere $- 21$ und $75$ .

$54$

Schritt 8