Analysis Beispiele

$\int 10.8 \sqrt{- 4 x + 5} d x$

Schritt 1

Da $10.8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $10.8$ aus dem Integral.

$10.8 \int \sqrt{- 4 x + 5} d x$

Schritt 2

Sei $u = - 4 x + 5$ . Dann ist $d u = - 4 d x$ , folglich $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = - 4 x + 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $- 4 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x + 5]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $- 4$ und $0$ .

$- 4$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$10.8 \int \sqrt{u} \frac{1}{- 4} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$10.8 \int \sqrt{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$10.8 \int - \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$10.8 (- \int \frac{\sqrt{u}}{4} d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $10.8$ .

$- 10.8 \int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- 10.8 (\frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 10.8$ .

$\frac{- 10.8}{4} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 7.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10.8}{4} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 7.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{10.8}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{10.8}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $- \frac{10.8}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $- 1 \cdot 2.7 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$ um.

$- 1 \cdot 2.7 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2.7$ .

$- 2.7 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2.7 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 9.2.3

Kombiniere $- 2.7$ und $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{- 2.7 (2 u^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2.7$ .

$\frac{- 5.4 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 9.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5.4 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $- 4 x + 5$ .

$- \frac{5.4 {(- 4 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$- \frac{5.4}{3} {(- 4 x + 5)}^{\frac{3}{2}} + C$