Analysis Beispiele

$\int 100 - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2 q} d q$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 100 d q + \int - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2 q} d q$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$100 q + C + \int - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2 q} d q$

Schritt 3

Da $- \frac{3}{2}$ konstant bezüglich $q$ ist, ziehe $- \frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$100 q + C - \frac{3}{2} \int \sqrt{2 q} d q$

Schritt 4

Sei $u = 2 q$ . Dann ist $d u = 2 d q$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d q$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 2 q$ . Ermittle $\frac{d u}{d q}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 q$ .

$\frac{d}{d q} [2 q]$

Schritt 4.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $q$ ist, ist die Ableitung von $2 q$ nach $q$ gleich $2 \frac{d}{d q} [q]$ .

$2 \frac{d}{d q} [q]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ gleich $n q^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$100 q + C - \frac{3}{2} \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$100 q + C - \frac{3}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$100 q + C - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$100 q + C - \frac{3}{2 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$100 q + C - \frac{3}{4} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 7.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$100 q + C - \frac{3}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$100 q + C - \frac{3}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$100 q - \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$100 q - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$100 q - \frac{6}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$100 q - \frac{6}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $12$ .

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Schritt 9.2.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$100 q - \frac{6 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$100 q - \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$100 q - \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$100 q - \frac{1}{2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $2 q$ .

$100 q - \frac{1}{2} {(2 q)}^{\frac{3}{2}} + C$