Analysis Beispiele

$\int_{1}^{6} t^{2} - 5 t + 6 d t$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{6} t^{2} d t + \int_{1}^{6} - 5 t d t + \int_{1}^{6} 6 d t$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} + \int_{1}^{6} - 5 t d t + \int_{1}^{6} 6 d t$

Schritt 3

Da $- 5$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 \int_{1}^{6} t d t + \int_{1}^{6} 6 d t$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 (\frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} 6 d t$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} 6 d t$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6} - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6}) + 6 t]_{1}^{6}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{6}$ und $6 t]_{1}^{6}$ .

$\frac{1}{3} t^{3} + 6 t]_{1}^{6} - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6})$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{1}{3} t^{3} + 6 t$ bei $6$ und $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 6 \cdot 6) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{6})$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{t^{2}}{2}$ bei $6$ und $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 6 \cdot 6) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Potenziere $6$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $216$ .

$\frac{216}{3} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $216$ und $3$ .

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Schritt 7.2.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $216$ heraus.

$\frac{3 \cdot 72}{3} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{72}{1} + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.3.2.4

Dividiere $72$ durch $1$ .

$72 + 6 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.4

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$72 + 36 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.5

Addiere $72$ und $36$ .

$108 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$108 - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$108 - (\frac{1}{3} + 6 \cdot 1) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.8

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$108 - (\frac{1}{3} + 6) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.9

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$108 - (\frac{1}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.10

Kombiniere $6$ und $\frac{3}{3}$ .

$108 - (\frac{1}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}) - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$108 - \frac{1 + 6 \cdot 3}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.12.1

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$108 - \frac{1 + 18}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.12.2

Addiere $1$ und $18$ .

$108 - \frac{19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.13

Um $108$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$108 \cdot \frac{3}{3} - \frac{19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.14

Kombiniere $108$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{108 \cdot 3}{3} - \frac{19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{108 \cdot 3 - 19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.16.1

Mutltipliziere $108$ mit $3$ .

$\frac{324 - 19}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.16.2

Subtrahiere $19$ von $324$ .

$\frac{305}{3} - 5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.17

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{36}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.18.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.18.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{18}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.18.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$\frac{305}{3} - 5 (18 - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.19

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{305}{3} - 5 (18 - \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.3.20

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{305}{3} - 5 (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.3.21

Kombiniere $18$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.3.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{305}{3} - 5 \frac{18 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 7.2.3.23

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.23.1

Mutltipliziere $18$ mit $2$ .

$\frac{305}{3} - 5 \frac{36 - 1}{2}$

Schritt 7.2.3.23.2

Subtrahiere $1$ von $36$ .

$\frac{305}{3} - 5 (\frac{35}{2})$

Schritt 7.2.3.24

Kombiniere $- 5$ und $\frac{35}{2}$ .

$\frac{305}{3} + \frac{- 5 \cdot 35}{2}$

Schritt 7.2.3.25

Mutltipliziere $- 5$ mit $35$ .

$\frac{305}{3} + \frac{- 175}{2}$

Schritt 7.2.3.26

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{305}{3} - \frac{175}{2}$

Schritt 7.2.3.27

Um $\frac{305}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{305}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{175}{2}$

Schritt 7.2.3.28

Um $- \frac{175}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{305}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.3.29

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.3.29.1

Mutltipliziere $\frac{305}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{305 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.3.29.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{305 \cdot 2}{6} - \frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.3.29.3

Mutltipliziere $\frac{175}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{305 \cdot 2}{6} - \frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.29.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{305 \cdot 2}{6} - \frac{175 \cdot 3}{6}$

Schritt 7.2.3.30

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{305 \cdot 2 - 175 \cdot 3}{6}$

Schritt 7.2.3.31

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.31.1

Mutltipliziere $305$ mit $2$ .

$\frac{610 - 175 \cdot 3}{6}$

Schritt 7.2.3.31.2

Mutltipliziere $- 175$ mit $3$ .

$\frac{610 - 525}{6}$

Schritt 7.2.3.31.3

Subtrahiere $525$ von $610$ .

$\frac{85}{6}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{85}{6}$

Dezimalform:

$14.1\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$14 \frac{1}{6}$

Schritt 9