Analysis Beispiele

$\int_{1}^{7} t^{3} - 10 t^{2} + 27 t - 18 d t$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{7} t^{3} d t + \int_{1}^{7} - 10 t^{2} d t + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{3}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} - 10 t^{2} d t + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Schritt 3

Da $- 10$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 10$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 \int_{1}^{7} t^{2} d t + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t^{3}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Schritt 6

Da $27$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $27$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 \int_{1}^{7} t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 18 d t$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + - 18 t]_{1}^{7}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7}$ und $- 18 t]_{1}^{7}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} - 18 t]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Schritt 10.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Berechne $\frac{1}{4} t^{4} - 18 t$ bei $7$ und $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 7^{4} - 18 \cdot 7) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Schritt 10.2.2

Berechne $\frac{t^{3}}{3}$ bei $7$ und $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 7^{4} - 18 \cdot 7) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Schritt 10.2.3

Berechne $\frac{t^{2}}{2}$ bei $7$ und $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 7^{4} - 18 \cdot 7) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4

Vereinfache.

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Schritt 10.2.4.1

Potenziere $7$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2401 - 18 \cdot 7 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2401$ .

$\frac{2401}{4} - 18 \cdot 7 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $7$ .

$\frac{2401}{4} - 126 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.4

Um $- 126$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2401}{4} - 126 \cdot \frac{4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.5

Kombiniere $- 126$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2401}{4} + \frac{- 126 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2401 - 126 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.4.7.1

Mutltipliziere $- 126$ mit $4$ .

$\frac{2401 - 504}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.7.2

Subtrahiere $504$ von $2401$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.9

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.10

Mutltipliziere $- 18$ mit $1$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} - 18) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.11

Um $- 18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} - 18 \cdot \frac{4}{4}) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.12

Kombiniere $- 18$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} + \frac{- 18 \cdot 4}{4}) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1897}{4} - \frac{1 - 18 \cdot 4}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.4.14.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $4$ .

$\frac{1897}{4} - \frac{1 - 72}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.14.2

Subtrahiere $72$ von $1$ .

$\frac{1897}{4} - \frac{- 71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1897}{4} - - \frac{71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1897}{4} + 1 (\frac{71}{4}) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.17

Mutltipliziere $\frac{71}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1897}{4} + \frac{71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1897 + 71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.19

Addiere $1897$ und $71$ .

$\frac{1968}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1968$ und $4$ .

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Schritt 10.2.4.20.1

Faktorisiere $4$ aus $1968$ heraus.

$\frac{4 \cdot 492}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.20.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.20.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 492}{4 (1)} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.20.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 492}{4 \cdot 1} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.20.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{492}{1} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.20.2.4

Dividiere $492$ durch $1$ .

$492 - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.21

Potenziere $7$ mit $3$ .

$492 - 10 (\frac{343}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.22

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$492 - 10 (\frac{343}{3} - \frac{1}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$492 - 10 \frac{343 - 1}{3} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.24

Subtrahiere $1$ von $343$ .

$492 - 10 (\frac{342}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.25

Kürze den gemeinsamen Teiler von $342$ und $3$ .

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Schritt 10.2.4.25.1

Faktorisiere $3$ aus $342$ heraus.

$492 - 10 \frac{3 \cdot 114}{3} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.25.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.25.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$492 - 10 \frac{3 \cdot 114}{3 (1)} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.25.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$492 - 10 \frac{3 \cdot 114}{3 \cdot 1} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.25.2.3

Forme den Ausdruck um.

$492 - 10 (\frac{114}{1}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.25.2.4

Dividiere $114$ durch $1$ .

$492 - 10 \cdot 114 + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.26

Mutltipliziere $- 10$ mit $114$ .

$492 - 1140 + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.27

Subtrahiere $1140$ von $492$ .

$- 648 + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.28

Potenziere $7$ mit $2$ .

$- 648 + 27 (\frac{49}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.29

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 648 + 27 (\frac{49}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 10.2.4.30

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 648 + 27 \frac{49 - 1}{2}$

Schritt 10.2.4.31

Subtrahiere $1$ von $49$ .

$- 648 + 27 (\frac{48}{2})$

Schritt 10.2.4.32

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $2$ .

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Schritt 10.2.4.32.1

Faktorisiere $2$ aus $48$ heraus.

$- 648 + 27 \frac{2 \cdot 24}{2}$

Schritt 10.2.4.32.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.32.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 648 + 27 \frac{2 \cdot 24}{2 (1)}$

Schritt 10.2.4.32.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 648 + 27 \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.4.32.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 648 + 27 (\frac{24}{1})$

Schritt 10.2.4.32.2.4

Dividiere $24$ durch $1$ .

$- 648 + 27 \cdot 24$

Schritt 10.2.4.33

Mutltipliziere $27$ mit $24$ .

$- 648 + 648$

Schritt 10.2.4.34

Addiere $- 648$ und $648$ .

$0$

Schritt 11