Analysis Beispiele

$\int_{1}^{7} t^{2} - 2 t - 24 d t$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{7} t^{2} d t + \int_{1}^{7} - 2 t d t + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} - 2 t d t + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Schritt 3

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 \int_{1}^{7} t d t + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 24 d t$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7} - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + - 24 t]_{1}^{7}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7}$ und $- 24 t]_{1}^{7}$ .

$\frac{1}{3} t^{3} - 24 t]_{1}^{7} - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{1}{3} t^{3} - 24 t$ bei $7$ und $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 7^{3} - 24 \cdot 7) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{t^{2}}{2}$ bei $7$ und $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 7^{3} - 24 \cdot 7) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Potenziere $7$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 343 - 24 \cdot 7 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $343$ .

$\frac{343}{3} - 24 \cdot 7 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $7$ .

$\frac{343}{3} - 168 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.4

Um $- 168$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{343}{3} - 168 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.5

Kombiniere $- 168$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{343}{3} + \frac{- 168 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{343 - 168 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.7.1

Mutltipliziere $- 168$ mit $3$ .

$\frac{343 - 504}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.7.2

Subtrahiere $504$ von $343$ .

$\frac{- 161}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.10

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} - 24 \cdot 1) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.11

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} - 24) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.12

Um $- 24$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} - 24 \cdot \frac{3}{3}) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.13

Kombiniere $- 24$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{161}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3}) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{161}{3} - \frac{1 - 24 \cdot 3}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.15.1

Mutltipliziere $- 24$ mit $3$ .

$- \frac{161}{3} - \frac{1 - 72}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.15.2

Subtrahiere $72$ von $1$ .

$- \frac{161}{3} - \frac{- 71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{161}{3} - - \frac{71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{161}{3} + 1 (\frac{71}{3}) - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.18

Mutltipliziere $\frac{71}{3}$ mit $1$ .

$- \frac{161}{3} + \frac{71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 161 + 71}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.20

Addiere $- 161$ und $71$ .

$\frac{- 90}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.21

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 90$ und $3$ .

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Schritt 7.2.3.21.1

Faktorisiere $3$ aus $- 90$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 30}{3} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.21.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.21.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 30}{3 (1)} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.21.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 30}{3 \cdot 1} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.21.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 30}{1} - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.21.2.4

Dividiere $- 30$ durch $1$ .

$- 30 - 2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.22

Potenziere $7$ mit $2$ .

$- 30 - 2 (\frac{49}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 7.2.3.23

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 30 - 2 (\frac{49}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.3.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 30 - 2 \frac{49 - 1}{2}$

Schritt 7.2.3.25

Subtrahiere $1$ von $49$ .

$- 30 - 2 (\frac{48}{2})$

Schritt 7.2.3.26

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.26.1

Faktorisiere $2$ aus $48$ heraus.

$- 30 - 2 \frac{2 \cdot 24}{2}$

Schritt 7.2.3.26.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.26.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 30 - 2 \frac{2 \cdot 24}{2 (1)}$

Schritt 7.2.3.26.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 30 - 2 \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.26.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 30 - 2 (\frac{24}{1})$

Schritt 7.2.3.26.2.4

Dividiere $24$ durch $1$ .

$- 30 - 2 \cdot 24$

Schritt 7.2.3.27

Mutltipliziere $- 2$ mit $24$ .

$- 30 - 48$

Schritt 7.2.3.28

Subtrahiere $48$ von $- 30$ .

$- 78$

Schritt 8