Analysis Beispiele

$\int_{1}^{5} {(7 - \frac{4}{y})}^{2} d y$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(7 - \frac{4}{y})}^{2}$ als $(7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y})$ um.

$\int_{1}^{5} (7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y}) d y$

Schritt 1.2

Multipliziere $(7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{5} 7 (7 - \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} (7 - \frac{4}{y}) d y$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{5} 7 \cdot 7 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} (7 - \frac{4}{y}) d y$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{5} 7 \cdot 7 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$\int_{1}^{5} 49 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $7 (- \frac{4}{y})$ .

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Schritt 1.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\int_{1}^{5} 49 - 7 \frac{4}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Schritt 1.3.1.2.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{4}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 7 \cdot 4}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Schritt 1.3.1.2.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $4$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 28}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Schritt 1.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Schritt 1.3.1.4

Multipliziere $- \frac{4}{y} \cdot 7$ .

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Schritt 1.3.1.4.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - 7 \frac{4}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Schritt 1.3.1.4.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{4}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} + \frac{- 7 \cdot 4}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Schritt 1.3.1.4.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $4$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} + \frac{- 28}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Schritt 1.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

Schritt 1.3.1.6

Multipliziere $- \frac{4}{y} (- \frac{4}{y})$ .

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Schritt 1.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + 1 \frac{4}{y} \frac{4}{y} d y$

Schritt 1.3.1.6.2

Mutltipliziere $\frac{4}{y}$ mit $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{4}{y} \cdot \frac{4}{y} d y$

Schritt 1.3.1.6.3

Mutltipliziere $\frac{4}{y}$ mit $\frac{4}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{4 \cdot 4}{y \cdot y} d y$

Schritt 1.3.1.6.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y \cdot y} d y$

Schritt 1.3.1.6.5

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1} y} d y$

Schritt 1.3.1.6.6

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1} y^{1}} d y$

Schritt 1.3.1.6.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1 + 1}} d y$

Schritt 1.3.1.6.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $\frac{28}{y}$ von $- \frac{28}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 - 2 \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Schritt 1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1

Multipliziere $- 2 \frac{28}{y}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{28}{y}$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 2 \cdot 28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $28$ .

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 56}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Schritt 1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{56}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{5} 49 d y + \int_{1}^{5} - \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$49 y]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$49 y]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Schritt 5

Da $56$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $56$ aus dem Integral.

$49 y]_{1}^{5} - (56 \int_{1}^{5} \frac{1}{y} d y) + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Schritt 6

Mutltipliziere $56$ mit $- 1$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 \int_{1}^{5} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

Schritt 8

Da $16$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} \frac{1}{y^{2}} d y$

Schritt 9

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 9.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} {(y^{2})}^{- 1} d y$

Schritt 9.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} y^{2 \cdot - 1} d y$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} y^{- 2} d y$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Berechne $49 y$ bei $5$ und $1$ .

$(49 \cdot 5) - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

Schritt 11.1.2

Berechne $\ln (| y |)$ bei $5$ und $1$ .

$49 \cdot 5 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

Schritt 11.1.3

Berechne $- y^{- 1}$ bei $5$ und $1$ .

$49 \cdot 5 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 11.1.4

Vereinfache.

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Schritt 11.1.4.1

Mutltipliziere $49$ mit $5$ .

$245 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 11.1.4.2

Mutltipliziere $- 49$ mit $1$ .

$245 - 49 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 11.1.4.3

Subtrahiere $49$ von $245$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 11.1.4.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

Schritt 11.1.4.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + 1)$

Schritt 11.1.4.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

Schritt 11.1.4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 \frac{- 1 + 5}{5}$

Schritt 11.1.4.8

Addiere $- 1$ und $5$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (\frac{4}{5})$

Schritt 11.1.4.9

Kombiniere $16$ und $\frac{4}{5}$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{16 \cdot 4}{5}$

Schritt 11.1.4.10

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{64}{5}$

Schritt 11.1.4.11

Um $196$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$196 \cdot \frac{5}{5} + \frac{64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.4.12

Kombiniere $196$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{196 \cdot 5}{5} + \frac{64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.4.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{196 \cdot 5 + 64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.4.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.4.14.1

Mutltipliziere $196$ mit $5$ .

$\frac{980 + 64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.4.14.2

Addiere $980$ und $64$ .

$\frac{1044}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11.1.4.15

Um $- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1044}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 11.1.4.16

Kombiniere $- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1044}{5} + \frac{- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 5}{5}$

Schritt 11.1.4.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1044 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 5}{5}$

Schritt 11.1.4.18

Mutltipliziere $5$ mit $- 56$ .

$\frac{1044 - 280 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))}{5}$

Schritt 11.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{5}$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{5}{| 1 |})}{5}$

Schritt 11.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{5}{1})}{5}$

Schritt 11.3.3

Dividiere $5$ durch $1$ .

$\frac{1044 - 280 \ln (5)}{5}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1044 - 280 \ln (5)}{5}$

Dezimalform:

$118.67147690 \dots$

Schritt 13